Бродяжий — Бродячий

бродяжий

— Относящийся к бродяге, принадлежащий, свойственный ему.
Примеры словосочетаний:
бродяжий посох, облик, промысел;
бродяжья судьба;
бродяжье житьё, настроение, счастье;
бродяжьи замашки, привычки, песни.
Примеры предложений:
У Назыма был характер бродяжий, а в глазах была весёлая сила. (Р. Рождественский, «Назым»)

бродячий

— Постоянно передвигающийся с места на место, странствующий, кочующий.
Примеры словосочетаний:
бродячий музыкант;
бродячая труппа;
бродячее существование;
бродячая собака.
Примеры предложений:
Зайцев был одним из последних представителей старого балагана, всю жизнь отдавший народному искусству бродячего цирка. (С. Образцов, «Актёр с куклой»)

Сравните: бродяжья жизнь — жизнь бродяги; бродячая жизнь — жизнь, полная странствий.